間接約束柱的柔性屈曲的有限元分析

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簡介： 這份文件是關于在同心荷載下具有間接約束的雙向對稱柱的彈性和柔性屈曲。間接約束導致主軸撓度和旋轉之間的耦合，并且柔性屈曲模式引起兩主軸方向的彎曲同步。間接約束抵抗位移和扭轉，并且可能更堅固或具有彈性，它們可能集中在柱子的一個點或沿柱長分布。本文討論端部間接約束的特性，綜合有限元分析時下柱子彈性屈曲的的特例，并且說明間接約束柱的設計。
關鍵字：屈曲 柱 設計 彈性 約束 鋼

1、導論

　　這份文件是關于在同心荷載下具有間接約束的雙向對稱柱的彈性柔性屈曲。這個問題算是立體框架中壓縮構件一般性問題的一個特例。

　　約束下的雙向對稱柱的彈性屈曲已經(jīng)做了徹底的研究，并且業(yè)已弄明白。任意兩個主平面xz和yx內的柱的搭接如圖1所示。在這種情況下，屈曲分析是更近一步的考慮獨立平面內的屈曲模式。平面內端部約束不平衡扭轉影響下的屈曲已經(jīng)做過分析(Trahair et al, 2001)，并且計算柱有效長度因素的圖表（SA, 1998 and BSI, 2000）和用來代表屈曲荷載是合適的。

　　不過，似乎很少有人研究相對于主Xz平面成角度的斜xz平面內的間接約束柱的彈性屈曲，如圖2所示。這種情況下，主軸發(fā)生位移和扭轉時的間接約束導致屈曲，并且柔性屈曲模式導致兩個主軸方向同時發(fā)生屈曲。Trahair (1969)年所做的運用端部約束線來研究不平衡角度部分柱所發(fā)生的彈性屈曲。彈性屈曲荷載在約束線和柱主要x軸方向之間差異角度，波形方式成大約正弦曲線。屈曲荷載的大小由于不對稱不平衡角度而影響扭轉的效果。間接約束實例包括通過連接板和端部約束連接的Z部件柱。柱的主軸的扭轉與支撐橫梁和格子梁相關聯(lián)。根據(jù)柱子剛度所對應的橫梁剛度，支撐橫梁可以被假定為在一個或兩個柱平面內柱的剛性彈性約束扭轉。間接約束可能抵抗撓度和扭轉?？赡苁莿傂曰驈椥缘?。他們可能集中在一點或沿柱通長分布。柱，粱和梁柱的集中分布約束下的極限扭轉屈曲分析，Trahair (1993)已經(jīng)做過論述。

　　在這份文件中，只有集中間接約束柱柔性屈曲的影響被討論過，因為在分布約束影響的擴展非常簡單。以下各節(jié)討論間接端部約束的特性，綜合目前柱子彈性屈曲影響的例子，說明間接約束下柱子的設計。（Rasmussen and Trahair 2004）提出一個剛性彈性端部約束下扭轉柱的屈曲的精確和近似的解決方法在附件中。

　　2、約束

　　一個L型彈性柱和軸向的壓縮N如圖1所示，x和y是柱子橫截面的主軸，z是沿著柱子的距離。柱子沿著它的長度在一個或更多點約束是用來抵抗撓度和扭轉，如圖2所示，X，Y是與主x，y軸成一定角度的兩間接約束軸線，約束反力Fx和Fy阻止方向上發(fā)生撓度U和V。同時彎矩Mx和My阻止X，Y軸向的扭矩dV/dZ和dU/dZ。

　　當柱子屈曲時，它在x，y方向上發(fā)生撓度u，v。這些撓度與X，Y方向上的撓度U，V有關，并通過下式計算

　　在上式中[T]由下式得到

　　如果約束是彈性的，則他們可以被表示為

　　在下式中

　　是抑制作用的矢量

　　是斜平面變形矢量

　　是約束剛度的矩陣。

　　當柱子屈曲時這些約束存儲應變能量

　　能被轉化為主軸系統(tǒng)

　　在

　　并且

　　3、彈性屈曲的有限元分析

　　有限元電腦程序被用來分析沿柱通長的一些點上變化著的許多軸向力和集中彈性剛性間接約束共同抵抗撓度和扭轉是的柱的柔性屈曲。這種程序在柔性屈曲下使用能量守恒的原則，并通過能量方程式表述。

　　E是彈性模量，Ixe，Iye是一種有限元關于x，y主軸的二次矩，Le是長度，Ne是有限元素的初始軸向力，z是沿著有限單元的距離{}的變形矢量，{}是彈性約束的約束剛度矩陣，是在屈曲時的荷載元素。在有限元方法內，三維領域通過運用元素結點變形{}用來表示撓度u，v，并且第11方程式的第1和第3個術語的組成部分轉化為

　　在上式中[ke]和[ge]是元素剛度和穩(wěn)定性矩陣的元素（Trahair,1993）.所有的這些元素相加就形成了總的矩陣[K]和[G]，并且加入約束剛度{}去組成

　　剛性約束需要一些總的變形{}轉化為0，因此這些在第13方程式之外精簡為

　　當剛性約束發(fā)生在主要平面時，這種簡化是簡單的，因為總變形是初平面內的值。剛性約束發(fā)生在斜平面內時，轉化相對主平面到斜平面是簡單的，通過下式

　　在上式中[T]被第2方程式給出。

　　小屈曲荷載要素和用{}定義的相對屈曲模式可能使用標準程序從第14方程式中提取出來。計算機程序已經(jīng)被使用MATLAB語言和功能編寫。

　　4、應用

　　4.1 剛性扭轉的端部約束

　　有限元計算機程序已經(jīng)用來分析在Xz平面內與xz主平面成角間接約束抵抗端部扭轉和撓度的等截面柱的柔性屈曲。如圖3所示。16種等式方程元已經(jīng)用來獲得在隨后的部分里顯示的數(shù)值結果。

　　當值為90o時，在約束平面外柱屈曲N0=Ny在下式中

　　Ny=2EIy/L2

　　表達，其半正弦波型為U=U0sin（Z/L）。當值為00時且Ix〈4Iy時，柱的屈曲（Timoshenko and Gere, 1961）N0=Ny時平面外的撓度的表達式為V=V0sin（Z/L）。

　　通常，當從00增加到90o時，Nx降低到N0且 4Ny 降低到Ny，如圖3所示，如果Ix/Iy從1增加到無窮時，在間接約束下Ny增加到4Ny，利用2方程式能量方法計算的三維柔性屈曲荷載N0/Ny的獨立不確定值已被Rasmussen and Trahair (2004)發(fā)表。并在附錄中顯示，如圖3所示。

　　4.2 彈性扭轉的端部約束

　　有限元電腦程序被用來分析與X，Y主平面成角的X，Z平面內端部柔性間接約束抵抗扭轉和變形的柱的屈曲。如圖4所示。無量綱約束剛度參數(shù)和無量綱屈曲荷載的變化

　　如圖4所示。無量綱屈曲荷載從1增加4則無量綱約束參數(shù)從0增加到1。為了得到更高的值，無量綱屈曲荷載減少到最低值。結果如圖4所示。

　　4.3 端部約束的剛性分析

　　有限元程序被用來分析在一個端部（Z=0）阻止撓度和扭轉，另一端（Z=L）柱在平面Xz與xz平面成可以自由移動Yz垂直平面內具有剛性間接轉變約束柱的屈曲，如圖5所示。

　　無限屈曲荷載的計算機值N0/Ny，如圖5所示。當sita角度值為90o時，約束平面外的柱的屈曲可看作懸臂梁N0=Ny/4。當角度值為00且Ix〈18Iy時，約束平面外柱的屈曲可看作懸臂梁N0=Nx。當角度值為00且Ix〉8.18Iy時，約束平面外柱的屈曲可看作懸臂梁N0=2 .045Ny (Timoshenko andGere, 1961)。

　　通常，無限屈曲荷載的參數(shù)形式的變化Nx/Ny和Ix/Iy與端部約束的剛性扭轉柱是相似的，如圖3所示。

　　4.4 集中約束的剛性傳遞

　　有限元程序被用于與Xz主平面成角度的xz平面內的集中剛性間接可傳

　　遞約束下在兩端可自由扭轉但不能發(fā)生撓度的柱的屈曲的分析。無限屈曲荷載

　　N0/Ny的計算機值如圖6所示。當值為90o時，平面外的柱的屈曲N0/Ny成半正弦波曲線U=U0sin（Z/L）；當值為0o時且Ix〈4Iy時，平面外的柱的屈曲N0=Nx成半正弦波V=V0sin（Z/L）；當值為0o且Ix〉4Iy時，約束平面內的柱屈曲N0=4Ny成全正弦波U=U0sin（2Z/L）。

　　通常情況下，當Ix〈4Iy時，無量綱屈曲荷載的變化的參數(shù)N0/Ny，Ix/Iy與柱桿端約束傳遞是相似的，如圖5所示，但是，當Ix〉4Iy時，屈曲模式瞬時發(fā)生改變，從平面模式變化到非平面模式。

　　4.5 集中約束的彈性傳遞

　　有限元程序被用于分析與xz主平面成一定角度的Xz平面內的集中柔性傳遞荷載的剛性約束下兩端不允許發(fā)生撓度但可自由扭轉的柱的屈曲，如圖7所示。無量綱屈曲荷載的變化N0/Ny與無量綱剛性約束參數(shù)相關。

　　當角為0o，30o，60o，90o且Ix/Iy=4時，

　　如圖7所示。當角度為0o時，無限約束剛性參數(shù)從0增加到0.767則無限屈曲荷載變化量N0/Ny從1增加到4。當屈曲模式從一種對稱正弦波曲線變化成一種半對稱的正弦曲線(Trahair et al, 2001)，是約束不變的。

　　當一個更大的角度時，相對于無限剛性約束Rtx=1.0時，屈曲荷載穩(wěn)定增加到一個最大值。

　　5、間接約束柱的設計

　　5.1 屈曲分析后的設計

　　使用屈曲分析設計方法是比主軸約束下廣泛使用的設計方法簡單的間接約束鋼柱的設計方法。它將間接的直接的被包括在國際標準(AISC,1999)，澳大利亞標準(SA, 1998)，英國標準中(BSI, 2000)。

　　用這種方法，間接約束柱的柔性屈曲荷載N0的分析結果

　　被用于計算

　　被用來決定通常設計能力的可變彎曲。

　　例如，AISC Specification and the Australian/New Zealand Standard (SA,

　　1996)的冷彎鋼結構都使用

　　如圖8所示。

　　5.2 工作實例

　　2000mm長的冷扎鋼截面柱如圖9所示，它的截面特性通過使用電腦程序THIN-WALL來確定。（Papangdis and Hancock.1997）如圖9所示。柱端阻止撓度的發(fā)生，腹板平面內阻止扭轉，但腹板平面外的兩端可以自由扭轉，壓應力通過下式確定

　　6、結束語

　　柱的約束發(fā)生在與主平面成一定角的平面內發(fā)生主軸撓度的同時將導致屈曲。因此屈曲模式是平面的而非單平面的屈曲可以抵抗撓度和扭轉。可能是剛性的或是彈性的。可能集中在一點或是沿柱通長分布。有限元程序分析間接集中剛性彈性約束且多軸壓力下柱的柔性屈曲。柱子在不定約束下主軸軸向扭轉和阻止端部發(fā)生撓度和斜平面下扭轉柱獨立解決方案的程序所得的已知結果已經(jīng)被證明是有效的。

　　通過使用屈曲分析的設計方法，工作實例已經(jīng)被證明，間接約束鋼柱能被設計，用一種與傳統(tǒng)主軸約束下的柱的設計相融合。

　　附錄1

　　AISC (1999), Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings, American Institute of Steel Construction, Chicago.

　　BSI (2000), BS5950 Structural Use of Steelwork in Building. Part 1:2000. Code of Practice for Design in Simple and Continuous Construction: Hot Rolled Sections, British Standards Institution, London. Mathworks Inc (1995), Student Edition of MATLAB, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.

　　Papangelis, JP and Hancock, GJ (1997), THIN-WALL – Cross-Section Analysis and Finite Strip Buckling Analysis of Thin-Walled Structures, Centre for Advanced Structural Engineering, University of Sydney.

　　Rasmussen, KJR and Trahair, NS (2004), “Exact and approximate solutions for the flexural buckling of columns with oblique rotational end restraints”, Research Report No. 834, Department of Civil Engineering, University of Sydney.

　　SA (1996), AS/NZS 4600:1996 Cold-Formed Steel Structures, Standards Australia, Sydney.

　　SA (1998), AS 4100-1998 Steel Structures, Standards Australia, Sydney.

　　Timoshenko, SP and Gere, JM (1961), Theory of Elastic Stability, 2nd edition, McGraw-Hill, New York.

　　Trahair, NS (1969), “Restrained elastic beam-columns”, Journal of the Structural Division, ASCE, 95 (ST12), 2641-64.

　　Trahair, NS (1993), Flexural-Torsional Buckling of Structures, E & FN Spon, London.

　　Trahair, NS, Bradford, MA, and Nethercot, DA (2001), The Behaviour and Design of Steel Structures to BS5950, 3rd British edition, E & FN Spon , London.

　　附錄2

　　A 截面面積

　　a0,1,2見公式31

　　b0,1,2見公式28

　　c0,1,2見公式29

　　E 彈性模量

　　{Fr} 矢量約束反力

　　Fx, Fy 約束反力

　　fy 局壓力

　　[G], [K] 總剛度穩(wěn)定性矩陣

　　[Gc], [Kc] 縮減總剛度穩(wěn)定性矩陣

　　[Ge], [Ke] 剛度穩(wěn)定性元素矩陣

　　Ix, Iy 慣性矩

　　Ixe, Iye 單元慣性矩

　　L 柱長

　　Le 單元長

　　Mx, My彎矩

　　(Mx)0 Z值為0時的彎矩

　　N 同軸荷載

　　Nd 設計壓力

　　Ne 軸壓應力

　　Nn 名義壓應力

　　Nx, Ny 柔性屈曲荷載軸力

　　Ny 極限荷載

　　N0 彈性極限荷載

　　RRY, RTX約束參數(shù)

　　[T] 轉化矩陣

　　u, v XY主軸向的撓度

　　ur, vr剪力作用下?lián)隙?/p>

　　u0, v0剪力作用下變形最大值

　　U, V 平行于XY軸的剪力發(fā)生撓度

　　U0, V0間接剪力中心撓度最大值

　　x, y 主軸

　　X, Y 約束平面主軸

　　z 與有限單元的距離

　　[ αC] 約束剛度矩陣

　　[ αR] 不變約束剛性矩陣

　　[ αr ]間接約束剛性矩陣

　　αRX , αRY 主軸約束剛性矩陣

　　αTX , αTY扭轉約束剛性矩陣

　　γ端部條件參數(shù)

　　{ δR} 約束點處斜面位移矢量

　　{ δr } 約束點處主軸位移矢量

　　{} 總撓度矢量

　　{C} 總撓度不變矢量

　　θXZ平面與xz平面夾角

　　λ屈曲荷載因素

　　λc可變彎曲

　　附錄3

　　雙向約束L型柱和主軸荷載N阻止兩端變形，與xz主平面成角的Xz平

　　面內一個柱端阻止扭轉，另一端可在平面外自由扭轉。它可以被假設為Ix〉Iy。約束平面外或內的X，Y方向的變形

　　是的屈曲。U型屈曲滿足約束平面平面界限條件du/dz=0，且滿足約束平面內第二類V型屈曲的界限條件（MX）=0。

　　使用方程1和2，

　　當

　　柱的彈性屈曲荷載下的能量方程

　　也可以被寫成

　　在下式中

　　b0 = 4{cos θ - γ sin θ}2+ (Ix / Iy) (sin θ + γ cos θ)2} (28a)

　　b1 = - (16 / 3 π) {sin θ (cos θ - γ sin θ) - (Ix / Iy) cos θ (sin θ + γ cos θ)} (28b)

　　b2 = sin2 θ + (Ix / Iy) cos2 θ (28c)

　　c0 = 1 + γ2 (29a)

　　c1 = (16 / 3π) γ (29b)

　　c2 = 1 (29c)

　　間接荷載下無量綱屈曲荷載N0/Ny具有最小值

　　在下式中

　　a0 = b1c0 - b0c1 (31a)

　　a1 = 2 (b2c0 - b0c2) (31b)

　　a2 = b2c1 - b1c2 (31c)

　　如圖3所示。