鋼筋混凝土的模型

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摘要：混凝土裂縫能和張拉應(yīng)力、主要裂縫寬度的新關(guān)系，經(jīng)通過(guò)考慮微裂縫強(qiáng)度或者混凝土的軟化得到了發(fā)展。線(xiàn)性乘冪和指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)用來(lái)描述張拉力的下降圖標(biāo)。一種非線(xiàn)性有限單元模型已經(jīng)發(fā)展，是一種使用分裂疊加的方法。這種方法說(shuō)明確定了其無(wú)知和結(jié)構(gòu)范圍內(nèi)的模型促進(jìn)了預(yù)應(yīng)力混凝土和鋼筋混凝土的分析。預(yù)應(yīng)力混凝土板和組合連續(xù)梁在彈性和非彈性的范圍內(nèi)在偏心荷載的作用下與裂縫能結(jié)合的模型預(yù)測(cè)，這兩種結(jié)合在理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到了較好的吻合。在最終的評(píng)價(jià)中，混凝土和金屬裂縫的原因也比較過(guò)了，這兩種極其不同的物質(zhì)在非彈性的條件下是能夠建立較好的相互作用的。

 

前言

裂縫構(gòu)造學(xué)是在裂縫周?chē)投瞬康臈l件下對(duì)其物質(zhì)形式的一種研究。裂縫構(gòu)造學(xué)的應(yīng)用也打開(kāi)了組合材料模型的新領(lǐng)域，而在過(guò)去常常是以經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定模型的。

組合材料像混凝土是由不同材料不同形狀和大小的顆粒經(jīng)過(guò)復(fù)雜排列而形成的。這些小顆粒也是相互作用的，并在微裂縫開(kāi)始之前就集中起來(lái)了。大塊顆粒是由不同大小、級(jí)配、粗糙度的集合體。在荷載的作用下對(duì)混凝土的影響是比較大的。此外，集中應(yīng)力普遍存在于不規(guī)則的物質(zhì)基質(zhì)中；這將導(dǎo)致微裂縫的出現(xiàn)，同時(shí)隨著裂縫依次連續(xù)的增長(zhǎng)這將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞。

混凝土在張力的作用下的破壞是由于最初的裂縫和裂縫在整個(gè)或部分構(gòu)件中不斷增長(zhǎng)這一問(wèn)題所引起的。裂縫是可以通過(guò)物質(zhì)的張力特性來(lái)控制。在傳統(tǒng)上，也已經(jīng)采用強(qiáng)度參數(shù)來(lái)表示裂縫了。尤其是混凝土的拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，這些參數(shù)用于來(lái)定位張力在主要應(yīng)力空間的停止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)組合體的主要應(yīng)力違背了這些條件，裂縫就開(kāi)始出現(xiàn)了。許多破壞的標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)由Kupfer和Hilsdorf(1969)還有Kupfer和Gerstle(1973)在這些參數(shù)的基礎(chǔ)上得到了很大的發(fā)展。

這些研究的目的是檢驗(yàn)在裂縫模型過(guò)程中不同參數(shù)的使用和加強(qiáng)裂縫的處理，就像裂縫構(gòu)造學(xué)和鋼筋混凝土的管理參數(shù)一樣。作者認(rèn)為在物質(zhì)的本質(zhì)特性上建立裂縫方法的原理是可行的，而不是考慮不同物質(zhì)的本來(lái)特性。

 

回顧以往的研究

研究人員經(jīng)過(guò)多年同時(shí)用大量的方法來(lái)描述和量化裂縫的增長(zhǎng)?？傊?，對(duì)于非線(xiàn)性有限元的發(fā)展起到了促進(jìn)的重要意義。早期混凝土裂縫的模擬是在理由單一的張拉強(qiáng)度作為主要參數(shù)基礎(chǔ)上控制的。理論是由于裂縫的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力已經(jīng)被假定為當(dāng)裂縫出現(xiàn)后迅速降低到零點(diǎn)（Dodds及其他人，1984）。然而，在下列的試驗(yàn)中卻發(fā)現(xiàn)單一參數(shù)模型不能夠被證實(shí)。Bazant 和Oh(1983)推斷強(qiáng)度參數(shù)是“不實(shí)際的”。其分析的結(jié)果可以嚴(yán)重的影響與有限單元實(shí)際大小的相結(jié)合。

另一方面研究的目的是在擴(kuò)展裂縫構(gòu)造學(xué)的線(xiàn)彈性和彈塑性原理。通過(guò)應(yīng)用應(yīng)力強(qiáng)度因數(shù)的方法來(lái)對(duì)組合體的研究（Walsh 1976; Hawkings及其他人1977；Testa和Stubbs1977）.在這種條件下的方法，靠近裂縫端部的應(yīng)力由下面有名的公式得到：

            

其中  =到裂縫方向的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力；Kl=應(yīng)力強(qiáng)度因數(shù)；r=到裂縫端部的距離，裂縫將會(huì)隨著Kl達(dá)到臨界數(shù)值Klc而不斷地增長(zhǎng)。

Ingraffea及其他人（1984）研究混凝土裂縫構(gòu)造學(xué)的線(xiàn)彈性應(yīng)用。裂縫端部之前裂縫平面的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力可以在使用三個(gè)不同要素的應(yīng)力強(qiáng)度大方法來(lái)確定。作者認(rèn)為在裂縫端部應(yīng)力的確定有一個(gè)Klc的方法是可靠的。對(duì)于金屬和巖石等堅(jiān)硬的物質(zhì)是同樣適用的。然而，它對(duì)于軟性物質(zhì)是不適用的，因?yàn)檫@些大的裂縫區(qū)是由微小的裂縫構(gòu)成的。同時(shí)唯一的一個(gè)Klc數(shù)值卻沒(méi)能夠找到。

組合材料的其它線(xiàn)彈性構(gòu)造學(xué)的方法基本已經(jīng)證明是不夠充分的。然而，對(duì)于唯一的應(yīng)力極限強(qiáng)度因數(shù)Klc的查找，使用J-積分和R-曲線(xiàn)是可行的。J-積分是一種平均數(shù)值的方法。而R-曲線(xiàn)是作為處理個(gè)別物質(zhì)在裂縫緩慢持續(xù)增長(zhǎng)的范圍內(nèi)抵抗開(kāi)裂而定義的（由Barsom和Rolfe1987）.這是一種主要用來(lái)處理混凝土在整個(gè)裂縫區(qū)開(kāi)裂的方法。

線(xiàn)彈性裂縫構(gòu)造學(xué)僅當(dāng)在裂縫區(qū)圍繞縣彈性區(qū)域內(nèi)可以用來(lái)描述應(yīng)力強(qiáng)度因數(shù)的特性是非常有意義的（即使是線(xiàn)性的）或者J-積分（當(dāng)非線(xiàn)性不能適用時(shí)）也是可以的。這一部分通過(guò)混凝土的非延性反應(yīng)來(lái)促進(jìn)，然而微裂縫事實(shí)上并沒(méi)有同時(shí)縮小。在金屬的領(lǐng)域里并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)。因此，混凝土的平面應(yīng)力和平面拉力并沒(méi)有本質(zhì)上的存在。所以式樣的寬度即裂縫前面的長(zhǎng)度并不是混凝土大多數(shù)主要的裂縫寬。

 

裂縫能和混凝土的軟化

幾個(gè)試驗(yàn)表明素混凝土的強(qiáng)度反應(yīng)主要通過(guò)微小裂縫的變形來(lái)控制。最初，極少數(shù)裂縫的發(fā)展是由于溫度的影響而緩慢減小的。然而，如果應(yīng)力達(dá)到了大約混凝土的某個(gè)強(qiáng)度時(shí)，微裂縫的大小在所謂的裂縫區(qū)之中，其任何附加的變形將會(huì)增長(zhǎng)。由于骨料和基質(zhì)的離析，隨著變形在裂縫區(qū)的增長(zhǎng)，混凝土應(yīng)力轉(zhuǎn)移能力的減小。越來(lái)越多的裂縫產(chǎn)生，最終合并為大的裂縫而不能傳遞任何荷載。這種現(xiàn)象稱(chēng)為拉應(yīng)力的軟化，它通過(guò)圖1的部分拉應(yīng)力下降曲線(xiàn)來(lái)表示。

當(dāng)大裂縫形成時(shí)，由于在裂縫表面的滑動(dòng)摩擦使剩下的應(yīng)力能轉(zhuǎn)化為剪應(yīng)力，它是由于材料的組合和結(jié)合形成的。過(guò)去大多數(shù)的研究人員忽略了混凝土張拉強(qiáng)度的軟化，若適合的假定拉力能對(duì)單一裂縫在裂縫變形之前降低到零點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)。然而，這忽略了混凝土的開(kāi)裂是發(fā)生在某些伸展區(qū)域內(nèi)的情況和對(duì)于單一裂縫的影響，為此這對(duì)于金屬材料來(lái)說(shuō)并不是其決定性的作用。

Rots和Blaauwendraad(1989)提出一些新參數(shù)的建立來(lái)描述開(kāi)裂的過(guò)程，這可以用有限單元法來(lái)分析。這些參數(shù)是混凝土的拉應(yīng)力強(qiáng)度ft；裂縫能Gf，其的意義等同于產(chǎn)生一部分區(qū)域連續(xù)裂縫所需的能量；和形成張拉力軟化的圖表。這三個(gè)參數(shù)被假定為物質(zhì)的基本屬性。

當(dāng)混凝土在拉力作用下和應(yīng)力達(dá)到材料的拉力強(qiáng)度時(shí)，一條裂縫就開(kāi)始產(chǎn)生了。隨著開(kāi)裂的增長(zhǎng)和轉(zhuǎn)移能力的下降，最后變?yōu)榱泓c(diǎn)時(shí)，裂縫就開(kāi)始達(dá)到了極限。這個(gè)區(qū)域時(shí)裂縫標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力在開(kāi)始軟化下裂縫能呈現(xiàn)的曲線(xiàn)，圖表2表示了典型的混凝土應(yīng)力—裂縫開(kāi)始的位移曲線(xiàn)。

混凝土的裂縫能可以通過(guò)單向的張拉試驗(yàn)來(lái)確定。試驗(yàn)必須控制變形和其試驗(yàn)機(jī)器必須非常地牢固，以致于能準(zhǔn)確地反應(yīng)出荷載—變形遞減的線(xiàn)圖表。否者隨著荷載控制試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)將會(huì)發(fā)生結(jié)構(gòu)的脆性破壞。

混凝土的裂縫能Petersson(1980a,b1981)用另一種方法來(lái)確定。他處理一個(gè)缺口梁上的三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)。其呈現(xiàn)出了荷載—彎曲曲線(xiàn)，曲線(xiàn)下的面積表示由裂縫增長(zhǎng)到梁的深部所消耗掉的大多數(shù)能量。通過(guò)認(rèn)識(shí)梁的部分交叉面積，裂縫能是可以測(cè)出來(lái)的。Petersson在試驗(yàn)中做了6個(gè)試件來(lái)比較張力試驗(yàn)圖表和彎曲試驗(yàn)圖表的結(jié)果。他認(rèn)為裂縫包含的數(shù)值在張拉測(cè)試中有12%高于三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)。

三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)相對(duì)于單向張力試驗(yàn)而言較易于實(shí)行和控制，因此很重要來(lái)確定這兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果之間的相互關(guān)系和有可能發(fā)展一種符合標(biāo)準(zhǔn)的材料試驗(yàn)來(lái)求得Gf值。

Bazant和Oh(1983)分析了22組試驗(yàn)的資料，并認(rèn)為通過(guò)不同研究者在不同大小的混凝土樣品來(lái)測(cè)試混凝土的裂縫能。有限單元法也已經(jīng)在分析中的得到了使用。同時(shí)混凝土的裂縫也模擬為一個(gè)純的有標(biāo)志的裂縫帶。在這樣的模型中，微裂縫則被認(rèn)為分布或存在一定寬度的有限單元結(jié)構(gòu)中，稱(chēng)其為裂縫帶寬度h。僅僅在裂縫模型分析中考慮[注意：例如Barsom和Rolfe（1987）求得不同裂縫模型中h的詳細(xì)資料]。材料的裂縫性質(zhì)可以通過(guò)三個(gè)參數(shù)來(lái)描述：裂縫能、單向張拉強(qiáng)度和裂縫帶寬度。并且拉應(yīng)力軟化系數(shù)是這三個(gè)參數(shù)的功能函數(shù)。

一個(gè)近似的公式已經(jīng)提出來(lái)預(yù)測(cè)混凝土的裂縫能其是在拉力強(qiáng)度和最大骨料尺寸的基礎(chǔ)上確定的：

                 Gf=(2.72+0.0214ft)ft

其中Gf=預(yù)測(cè)的裂縫能；ft=混凝土的拉力強(qiáng)度；da=最大骨料的尺寸；Eco=混凝土的彈性系數(shù)。

等式（2）是建立在線(xiàn)性張拉應(yīng)力軟化圖表基礎(chǔ)上的，裂縫帶寬度最有利的數(shù)值大約是三倍最大骨料尺寸。

Hillerborg(1984),Hordijk及其他人（1989），Rots和Blaauwendraad(1989)和Petersson(1980a,b)認(rèn)為通過(guò)混凝土試件的幾個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定混凝土的裂縫能。他們的結(jié)論是混凝土的裂縫能是一種材料樹(shù)形和其數(shù)值由骨料的大小和形狀、水灰比、混凝土加載的時(shí)間和加載的速率影響的。Petersson(1980,b)發(fā)現(xiàn)了典型標(biāo)準(zhǔn)重量混凝土裂縫能大約是在60—100N/m范圍之間。

 

 

拉力

 

圖1 混凝土的張力關(guān)系曲線(xiàn)

 

 

          裂縫寬度

       →∣∣←彈性變形

               圖2 應(yīng)力-裂縫開(kāi)始位移曲線(xiàn)

 

混凝土張拉應(yīng)力軟化的特點(diǎn)

混凝土張拉應(yīng)力軟化通過(guò)混凝土拉力強(qiáng)度ft來(lái)確定，軟化曲線(xiàn)下面的面積顯示了混凝土裂縫能Gf和遞減形態(tài)的圖表，如圖表2。早期的分析是由Hillerborgj及其他人（1976）來(lái)實(shí)行的，使用了線(xiàn)性的拉應(yīng)力軟化表，Rots及其他人（1985）通過(guò)使用雙線(xiàn)性的張拉應(yīng)力軟化表更好的來(lái)說(shuō)明了混凝土裂縫能的確定。然而，這兩種方法都不是準(zhǔn)確的。從張拉試驗(yàn)來(lái)看混凝土的張拉應(yīng)力軟化表其是高度的非線(xiàn)性化的。

不同的研究者給出了下面的燈飾中適用于非線(xiàn)性的張拉應(yīng)力軟化的曲線(xiàn)：

*Reinhardt(1984):

 

其中K=0.31;  =裂縫能的標(biāo)準(zhǔn)拉應(yīng)力；=拉力在標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力的位置；=張拉應(yīng)力軟化的基本拉力值位置。

*Reinhart和Cornelissen(1986):

 

其中C1=物理常數(shù)=9.0；C2=物理常數(shù)=5.0。

*Gopalaratnam和Shah(1985):

其中 =常數(shù)=1.01；k=常數(shù)=0.063；w=裂縫的寬度，用測(cè)微計(jì)來(lái)求得。

Cornelissen及其他人（1986）：這些研究人員通過(guò)使用了標(biāo)準(zhǔn)重量和輕重量的混凝土試件進(jìn)行若干個(gè)單向張力變形控制的實(shí)驗(yàn)，來(lái)確定準(zhǔn)確地張拉應(yīng)力軟化的特點(diǎn)。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)重量的混凝土，最大的河流砂礫顆粒的大小是8mm，而燒結(jié)膨脹土則用來(lái)做輕質(zhì)混凝土。推斷認(rèn)為對(duì)于給定混凝土的開(kāi)始裂縫和基本應(yīng)力之間有唯一的關(guān)系；這種關(guān)系并不是由壓力或者拉力的歷史來(lái)影響的。并提出了下面的數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)模型：

 

其中f(w)=由下面給出的位移功能函數(shù)得到：

 

其中w=裂縫開(kāi)始時(shí)的位移；w.=裂縫在應(yīng)力不轉(zhuǎn)化時(shí)的位移；c1和c2=物理常量（對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)重量的混凝土：c 1=1.0;c2=5.64;對(duì)于輕質(zhì)混凝土c1=3.0和c2=6.93）.這個(gè)模型適合于張拉應(yīng)力的圖表資料要點(diǎn)，而且對(duì)于兩種類(lèi)型的混凝土都能夠得到滿(mǎn)足。實(shí)驗(yàn)表明對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)重量和輕質(zhì)重量的混凝土分別來(lái)說(shuō)w.的大小分別是160和140um.在這些數(shù)值中，w.實(shí)際上是所有微裂縫在裂縫區(qū)內(nèi)裂縫開(kāi)裂位移的總和。

 

裂縫能相對(duì)于基本的裂縫寬度

對(duì)于加工的裂縫模型，裂縫開(kāi)始位移w是通過(guò)在有限單元之中裂縫拉力作用在裂縫帶寬度h來(lái)表示的。因此，w是裂縫位移的疊加，顯示在圖表3（a）中。對(duì)于h的最佳數(shù)值是通過(guò)Bazant和Oh（1983）用三倍的最大骨料大小來(lái)確定的。通過(guò)假定微小裂縫一律分布在整個(gè)裂縫帶寬度[表3（b）]，w可以表示如下：

其中 =裂縫標(biāo)準(zhǔn)拉力在最大拉力上的位置。

裂縫能表明Gf是單位面積內(nèi)的連續(xù)裂縫。它相對(duì)于有限單元結(jié)構(gòu)的大小是獨(dú)立的。Gf釋放在整個(gè)裂縫帶寬度。

混凝土的裂縫能等于應(yīng)力—裂縫—開(kāi)始軟化表下的面積。Gf為此可以表示為：

其中gf=張拉應(yīng)力軟化圖表下的面積，如圖表3（b）所示。

裂縫能和張拉強(qiáng)度是混凝土材料的基本屬性。其很重要去測(cè)定材料性質(zhì)和基本開(kāi)裂在應(yīng)力不不在轉(zhuǎn)化條件下的關(guān)系（Morcos和Bjorhovde1992 b）,通過(guò)使用Reinhardt(1984)學(xué)模型和代替（9）式如下：

通過(guò)進(jìn)行積分和替換求出極限值，發(fā)現(xiàn)有如下式：

基本開(kāi)裂裂縫能和張拉強(qiáng)度間的關(guān)系：

                         w。=4.226Gf/ft                         （12）

基本開(kāi)始裂縫為此對(duì)于混凝土的材料屬性是線(xiàn)性相關(guān)的。在張拉強(qiáng)度和裂縫能已知的條件下，W?？梢酝ㄟ^(guò) （12）式來(lái)確定任何混凝土的配制。

     通過(guò)使用Reinhardt和Cornelissen(1985)數(shù)學(xué)指數(shù)模型，使其成為如下的式子：

w。=4.05Gf/ ft                                             (13)

Cornelissen及其他人（1986）對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)重量的混凝土，給出如下的數(shù)學(xué)指數(shù)模型：

      w。=5.618Gf/ ft                                            (14)

對(duì)于輕質(zhì)混凝土：

      w。=4.505Gf/ ft                                            (15)

 

等式（12-15）表明了裂縫能、張拉強(qiáng)度和基本裂縫寬度之間是一種線(xiàn)性的關(guān)系。此外，Gf、ft和w。的關(guān)系是用來(lái)描述張拉應(yīng)力軟化表遞減曲線(xiàn)的獨(dú)立數(shù)學(xué)表達(dá)式。盡管不同非線(xiàn)性模型的使用，而混凝土材料性質(zhì)和基本開(kāi)始裂縫的關(guān)系卻是線(xiàn)性的（Morcos 1991）。使用一種非常近似的形式，這可以表示為：

      w。=C Gf/ ft                                               (16)

 

其中C=常量。其主要依靠數(shù)學(xué)模型來(lái)描述張拉應(yīng)力軟化遞減關(guān)系的線(xiàn)圖表，這對(duì)當(dāng)前的研究是一種重要的發(fā)現(xiàn)。在總體上對(duì)于混凝土裂縫的應(yīng)用研究有著重要的意義。

W(裂縫開(kāi)始位移)

       （a）

拉力（h-h。）/h。

        （b）

圖3  拉應(yīng)力相對(duì)于（a）裂縫開(kāi)始位移；（b）張拉裂縫

 

裂縫模型的應(yīng)用

在結(jié)構(gòu)分析中考慮混凝土裂縫后的強(qiáng)度，其是材料屬性的一種反應(yīng)。準(zhǔn)確的混凝土裂縫是通過(guò)合并張拉力軟化表在有限單元分析來(lái)確定的。軟化圖表的定義是通過(guò)三個(gè)著名的參數(shù)：張拉強(qiáng)度 、裂縫能和數(shù)學(xué)指數(shù)模型來(lái)描述的曲線(xiàn)。

有限單元的電腦程序也已經(jīng)開(kāi)發(fā)了，使用一種非線(xiàn)性層的模型來(lái)分析組合結(jié)構(gòu)大致的范圍和確定裂縫的形態(tài)（Morcos 1991）.分層的方法對(duì)于分析組合結(jié)構(gòu)是非常有用的。例如組合體系，因?yàn)槠洫?dú)特的外形，對(duì)于去合并材料的局部變量和其他性質(zhì)是非常有利的。例如裂縫的增長(zhǎng)或者擠壓預(yù)應(yīng)力混凝土區(qū)和鋼梁，提通過(guò)在不同的區(qū)域進(jìn)行加載。下面給出分層有限單元法在這里用來(lái)描述裂縫的主要特征，跟隨著計(jì)算程序的詳細(xì)步驟即可以了，Morcos(1991)已經(jīng)完整描述出來(lái)了裂縫的形態(tài)。

在分析中使用分層的方法，混凝土厚板被分解成合適數(shù)量的有限薄板構(gòu)件。而鋼梁通過(guò)多數(shù)的梁元件來(lái)表示時(shí)，例如下面的表4所示?；炷梁癜搴弯摿罕患俣ㄍ耆南嗷プ饔?，盡管在一般情況下是不要求的。梁元件必須與薄板元件在沿著結(jié)構(gòu)網(wǎng)線(xiàn)聯(lián)系起來(lái)，來(lái)促進(jìn)元件和整個(gè)體系牢固的作用。如表5表示了一個(gè)典型的薄板元件標(biāo)記在各個(gè)角上的I、J、K和L節(jié)點(diǎn)。梁元件被分解為一條筆直的線(xiàn)，通過(guò)節(jié)點(diǎn)I和J來(lái)限制。同時(shí)通過(guò)這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)與薄板元件相聯(lián)系，其說(shuō)明在下表6中。

 

 

 

 

圖4  組合梁模型

 

 

圖5 薄板和橫梁的多節(jié)點(diǎn)體系

 

橫梁構(gòu)件是偏心的系在薄板構(gòu)件上的。將在薄板的中心平面發(fā)生拉緊和彎曲作用相互結(jié)合，因此必須考慮其平面的變形。

混凝土厚板和鋼梁再細(xì)分為幾個(gè)層元件。其表示如表6，每層可以有不同的物質(zhì)屬性和穩(wěn)定性。對(duì)于每一層都有不同的的拉應(yīng)力。因此可以去跟蹤裂縫在整個(gè)混凝土厚板的薄弱區(qū)的增長(zhǎng)（即開(kāi)裂在橫梁智商或橫梁之下）同時(shí)最先屈服的加強(qiáng)橫梁和鋼梁。

 

圖6 偏心薄板層和橫梁構(gòu)件

 

混凝土厚板是被模型為一個(gè)簡(jiǎn)單的混凝土層和鋼筋加強(qiáng)層的組合體，其的表示在圖4中。并且每層被假定為受平面應(yīng)力的作用，應(yīng)力在每層的矩心上。通過(guò)取得每層頂部和底部應(yīng)力的平均值來(lái)確定，并通過(guò)假定來(lái)顯示出整個(gè)層上的平面應(yīng)力。

預(yù)應(yīng)力鋼筋梁模型是通過(guò)同等的鋼筋層，只有在加強(qiáng)的位置上固定的。同時(shí)鋼筋層上的薄弱區(qū)可以確定為這一層的橫斷面面積等于多根鋼筋面積的疊加。這比在一個(gè)加強(qiáng)層的橫向和縱向上要好，并且鋼筋加強(qiáng)層和周?chē)幕炷帘徽J(rèn)為是很好的結(jié)合的。

橫梁和薄板元件節(jié)點(diǎn)的確定是在普通的平面里的。這個(gè)平面稱(chēng)為參照層，其表示在圖6中。這個(gè)平面位于鋼梁一定的距離上，通過(guò)這種研究這個(gè)參照層一致被假定為混凝土的中間層。它的位置在整個(gè)分析的過(guò)程中是固定不變的。組合梁的變形也必須首先考慮到這個(gè)參照層。

每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有五個(gè)自由度，其中三個(gè)轉(zhuǎn)化為：u、v和w。其分別在X-、Y-和Z-方向上。另外兩個(gè)自由度是旋轉(zhuǎn)角 和 ，分別沿著X-和Y-方向旋轉(zhuǎn)。w和a、b是相互垂直的，其表示了在薄板平面外的形態(tài)。而位移u和v則表示了平面內(nèi)的形態(tài)。在薄板和梁構(gòu)件中自由度提出了足夠描述變形的特點(diǎn)。

變形的相關(guān)性是沿著梁和薄板構(gòu)件在連接線(xiàn)上實(shí)行的。其被認(rèn)為是允許沒(méi)有滑動(dòng)的相互作用。

使用分層概念的好處事實(shí)上在于可能存在一個(gè)平面外的物理變量，在使用三維分析中得出的結(jié)論也是比較容易的。分層概念在任何荷載增加時(shí)都需要每個(gè)元件的每一層只有一個(gè)物質(zhì)屬性。

每層中的節(jié)點(diǎn)位移、壓力和拉力可以通過(guò)荷載每次的增加來(lái)確定。對(duì)于每次的增加，程序由下面的步驟來(lái)實(shí)行：

 

1.      這種結(jié)構(gòu)是分析對(duì)于給定的荷載增量和節(jié)點(diǎn)位移的確定，對(duì)于每個(gè)單元然后實(shí)行下面的步驟。

2.      節(jié)點(diǎn)位移轉(zhuǎn)換成參照表面的拉和彎曲作用，對(duì)于每層j在i元件里面。然后執(zhí)行下面的步驟。

3.      參照表面的拉力彎曲作用轉(zhuǎn)換成每層的拉應(yīng)力。

4.      每層拉力再次控制好適合的轉(zhuǎn)換條件標(biāo)準(zhǔn)。

5.      如果轉(zhuǎn)變區(qū)被超過(guò)了，材料將會(huì)被完全的變形。否則這個(gè)步驟被遺漏掉了。

6.      應(yīng)力的確定在每層的矩心，通過(guò)使用適當(dāng)?shù)牟牧蟻?lái)作用。

7.      若轉(zhuǎn)化的標(biāo)準(zhǔn)被超出，每層過(guò)多的應(yīng)力可以確定。疊加所有的每層數(shù)，同時(shí)改變一些超出的向量力。

8.      重復(fù)步驟3-7直到處理完所有的單元。

9.      若對(duì)于所有單元的所有層的轉(zhuǎn)變標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有超出的話(huà)，這時(shí)對(duì)于這些荷載的增加完成分析。否則應(yīng)執(zhí)行下面的步驟。

10.  最新的單元體物質(zhì)再次重聚合起來(lái)，并獲得一種新的結(jié)構(gòu)體系。

11.  結(jié)構(gòu)的再次分析是使用過(guò)多的荷載變量。

12.  若位移由于過(guò)量的荷載變量有5%少于荷載的增量，那么解決的方法就可以所有集中于一點(diǎn)來(lái)確定了。

    

    從分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果中分析兩個(gè)問(wèn)題，來(lái)證明在一個(gè)結(jié)構(gòu)大的范圍內(nèi)裂縫形態(tài)確定所提出模型的應(yīng)用性和準(zhǔn)確性（Morcos 1991;Morcos和Bjorhovde 1992a）.第一個(gè)例子就是薄板的問(wèn)題，此是44.5mm厚的鋼筋混凝土板其支撐在角點(diǎn)和加載于其中心而使其破壞的。第二個(gè)問(wèn)題是連續(xù)組合梁，此處是100mm的預(yù)應(yīng)力板和組合了一個(gè)1067mm的深薄板鋼梁。Cornelissen及其他人提出的張應(yīng)力軟化圖形的指數(shù)模型也已經(jīng)得到了發(fā)展，并且已經(jīng)在分層的有限單元分析中使用來(lái)確定混凝土的裂縫體系。而原來(lái)的研究人員使用了物質(zhì)屬性、幾何原理和外形特征來(lái)研究這兩個(gè)問(wèn)題。

     Mcneice(1967)第一次分析了兩個(gè)方向的鋼筋混凝土板。試驗(yàn)通過(guò)忽略混凝土的裂縫能和裂縫處的強(qiáng)度，通過(guò)裂縫模型對(duì)于裂縫能承擔(dān)60N/m數(shù)值和2.41MPa的張拉力強(qiáng)度來(lái)進(jìn)行從新的分析。彈性因數(shù)和混凝土的壓縮強(qiáng)度使用在分析中分別是28.6MPa和37.9MPa。通過(guò)最初的研究來(lái)確定，板的寬度是914mm乘于914mm，在縱向和橫向上的增強(qiáng)率是0.85%。

      應(yīng)用0.45KN的荷載變量來(lái)進(jìn)行分析，對(duì)于每次的荷載增量拉力和壓力在每個(gè)單元層是合理的，同時(shí)彎曲也是給定的。

     荷載—變形反應(yīng)的預(yù)測(cè)是通過(guò)分析兩個(gè)圖在圖表7中，隨著從實(shí)驗(yàn)中得到的曲線(xiàn)和其他的推斷（Lin和Scordelis 1975）。當(dāng)裂縫模型和混凝土的張拉軟化在分析中考慮時(shí)，在總體上反應(yīng)顯示了大多數(shù)混凝土裂縫之后的體系。在彈性的范圍內(nèi)，在混凝土板裂縫開(kāi)始之前，要使分析的模型聯(lián)系實(shí)驗(yàn)得到的資料。在裂縫變形之前，在荷載為4.45KN水平時(shí)和提高到荷載為10.7KN水平時(shí)，從實(shí)驗(yàn)中得出模型顯示了強(qiáng)烈的反應(yīng)最大值大約有9%的不同，是在荷載為8KN時(shí)發(fā)現(xiàn)的。在更高荷載程度10.7-12.5KN時(shí)，預(yù)測(cè)到變化大約是5%少于通過(guò)實(shí)驗(yàn)給于的數(shù)值。

因此推斷出平板的荷載-變形形態(tài)通過(guò)分析和結(jié)合裂縫模型得到了很好的預(yù)測(cè)，特別是在荷載程度近似到平板的最大極限值。因此，提出的裂縫模型已經(jīng)被證明比其它的模型更加精確。

第二個(gè)例子是簡(jiǎn)單支持組合梁實(shí)驗(yàn)并通過(guò)在半跨向上的方向上作用集中荷載來(lái)實(shí)現(xiàn)的。反應(yīng)出了梁的負(fù)面效應(yīng)（Frank 1991），這引起混凝土板張拉應(yīng)力和鋼梁的壓縮應(yīng)力。這個(gè)實(shí)驗(yàn)擬合了部分組合連續(xù)梁在內(nèi)部的支撐，并且在彎曲點(diǎn)和加載點(diǎn)顯示了組合連續(xù)梁在內(nèi)部支撐處的反應(yīng)。圖表8顯示了組合連續(xù)梁在交叉區(qū)域和在中心區(qū)域在支撐處提供了軸承加固，同時(shí)沿著梁的長(zhǎng)度方向提供腹板的加固?；炷涟逶诳v向和橫向兩個(gè)方向的增長(zhǎng)率分別是1.37%和6.25%。

組合梁的分析是通過(guò)結(jié)合裂縫能模型和承擔(dān)數(shù)值為100N/m的混凝土板裂縫能。裂縫帶寬度h，在分析中的使用是57mm，其等于三倍的最大骨料大小。模型在分析中的使用使混凝土板的影響逐漸的減小，組合梁的這種性質(zhì)概括在下表1中。

組合梁的實(shí)驗(yàn)和分析荷載-變形反應(yīng)顯示在圖9中，荷載-變形曲線(xiàn)通過(guò)分析準(zhǔn)確地得到推測(cè)。當(dāng)鋼梁在線(xiàn)性范圍內(nèi)加載到445KN水平時(shí)，理論上預(yù)計(jì)的強(qiáng)度比實(shí)際實(shí)驗(yàn)中低5%。當(dāng)撤去板后加載至490-623KN時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果顯示了鋼梁是非?？煽康?，試驗(yàn)測(cè)得的成果比理論推導(dǎo)所得相差4%。隨著荷載的繼續(xù)增加，鋼板開(kāi)始屈服了?？梢詮幕炷亮荷铣霈F(xiàn)的裂縫看出這一點(diǎn)，當(dāng)荷載加到712KN時(shí)，試驗(yàn)和理論得到的數(shù)據(jù)顯示相同。當(dāng)荷載加到更大時(shí)，理論分析則顯示出了更大的說(shuō)服力。最大的差距達(dá)到了相差的6%。這是當(dāng)加載到846KN時(shí)的差距。梁的上部鋼筋在加載到810KN時(shí)就產(chǎn)生屈服了，而下部的鋼筋則是在加載到868KN時(shí)才產(chǎn)生屈服的。

在忽略裂縫能和混凝土的延伸后對(duì)混凝土梁再次做了分析。圖表10已經(jīng)顯示了加載-變形曲線(xiàn)。同時(shí)附有實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)及以前實(shí)驗(yàn)分析模式的結(jié)果。結(jié)果表明當(dāng)沒(méi)有延伸性時(shí)，混凝土一旦開(kāi)裂就會(huì)失去它的強(qiáng)度，最大的差別可以達(dá)到19%。裂縫最大可以達(dá)到74mm，結(jié)果顯示無(wú)延性梁和實(shí)際梁的曲線(xiàn)最大相差15%。

這兩項(xiàng)分析對(duì)比說(shuō)明了上述方法對(duì)于混凝土結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用是可取的。鋼筋混凝土板代表了鋼筋和混凝土結(jié)合達(dá)到了一個(gè)極限，鋼筋混凝土梁則達(dá)到了另一種極限。100mm的鋼筋混凝土板可以與1067mm高的混凝土梁混合使用。在兩項(xiàng)分析中，預(yù)計(jì)荷載-變形反應(yīng)曲線(xiàn)與實(shí)驗(yàn)所得的曲線(xiàn)非常的近似，兩者之間的差距由0擴(kuò)大到相差9%，其是由于板的作用。當(dāng)由于梁的作用時(shí)則相差6%。

裂縫-能量模型是對(duì)混凝土分析中最為重要的方法。此時(shí)，張拉的預(yù)應(yīng)力鋼筋比混凝土破碎處的鋼筋要長(zhǎng)。當(dāng)混凝土由于鋼筋的張拉而破碎失效時(shí)，如果不考慮被張拉的鋼筋強(qiáng)度，其穩(wěn)定性就會(huì)完全的破壞了。

在節(jié)點(diǎn)8處的變形

—設(shè)計(jì)模型張力軟化面積6×6    -----設(shè)計(jì)模型不考慮張拉軟化

——實(shí)驗(yàn)所得的曲線(xiàn)             ﹎﹎沒(méi)有拉力軟化時(shí)

﹎﹎﹎拉力軟化結(jié)構(gòu)面積3×3     ……拉力軟化結(jié)構(gòu)面積6×6

 

圖7 Mcneice厚板的8節(jié)點(diǎn)荷載-變形曲線(xiàn)

 

圖8. 組合梁平面圖和剖面圖

表1 組合梁的物理屬性

           參數(shù)（1）

           數(shù)值（2）

                            （a）混凝土

           壓縮強(qiáng)度

           35.9Mpa

           張拉強(qiáng)度

           3.0Mpa

           Ec

           30.146Mpa

           裂縫能量

           100N/m

           Poisson’s率

            0.2

                             （b）鋼梁

           屈服應(yīng)力-梁頂

            371Mpa

           屈服應(yīng)力-梁底部

            337Mpa

           屈服應(yīng)力-網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)

            354Mpa

               Es

            200.000Mpa

                              (c)預(yù)應(yīng)力鋼筋

           屈服應(yīng)力

            500Mpa

               Er

            200.000Mpa

            縱向鋼筋

        3號(hào)頂部18；底部10

            橫向鋼筋

     3號(hào)頂部和底部分別114mm

                              (d)剪力分布

            變形   

直徑大約在12.7mm和216mm方向上

 

 

混凝土和鋼筋裂縫的對(duì)比

對(duì)于混凝土來(lái)說(shuō)，裂縫的長(zhǎng)度可以達(dá)到50-100mm，甚至更長(zhǎng)。它包括與主要受拉方向垂直的裂縫和微小裂縫，開(kāi)裂區(qū)域的破壞不包括伴隨產(chǎn)生的側(cè)向變形。也不受張拉應(yīng)力軟化而產(chǎn)生其它方面變形的影響。受壓產(chǎn)生的裂縫位置曲線(xiàn)是由材料性質(zhì)即材料的骨料大小而決定的，而且理論上假定壓力只在其它方向上產(chǎn)生很小的影響。

對(duì)鋼筋來(lái)說(shuō)，在破碎區(qū)域內(nèi)鋼筋由于在混凝土內(nèi)部有細(xì)微裂縫的存在。然而，大的裂縫只產(chǎn)生在順力的方向上。彈性區(qū)域存在于裂縫的端部，彈性區(qū)域的大小取決于受壓區(qū)域的計(jì)算模式及平面壓力還是平面拉力。

破碎區(qū)域的鋼筋顯示扭曲是由鋼筋的位置決定的。扭曲區(qū)域的大小取決于鋼筋樣品的粗細(xì)和外形。因此，受壓裂縫-鋼筋位移從鋼筋實(shí)驗(yàn)中獲得的信息并不是材料的性質(zhì)。而是由鋼筋的外形和粗細(xì)情況來(lái)確定的。顯然，鋼筋在受拉或受壓情況下的性能并不相同。

圖表11表示的是典型的混凝土和鋼筋在標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度100mm下首拉壓的位移曲線(xiàn)。其中由于樣品尺寸和鋼筋型號(hào)被忽略了，而且遞減曲線(xiàn)的鋼筋型號(hào)也是未知的，得到的曲線(xiàn)也只是近似的曲線(xiàn)。曲線(xiàn)被分成兩個(gè)部分，一部分代表了受拉-壓關(guān)系的曲線(xiàn)。另一部分代表了受壓裂縫曲線(xiàn)。檢查曲線(xiàn)的下半部分，這一區(qū)域表示裂縫處先后大部分破損區(qū)域的混凝土可以被視為處于軟化的狀態(tài)。這是由于受壓開(kāi)裂-位移曲線(xiàn)比壓力作用下更長(zhǎng)。該曲線(xiàn)的下半部是材料破壞的標(biāo)準(zhǔn)范圍。對(duì)于鋼筋來(lái)說(shuō)在位移變形和拉力作用下大部分應(yīng)力被材料所吸收了，同時(shí)受壓曲線(xiàn)以下的部分區(qū)域比受壓裂縫-位移曲線(xiàn)更大。

式子（16）和參數(shù)的表達(dá)式都是近似的，其確定了金屬的裂縫特性，在金屬的彈塑性裂縫構(gòu)造學(xué)的分析中，裂縫端部-開(kāi)始位移是與材料的屬性相關(guān)的。如下式：

其中 =臨界尖端裂縫-開(kāi)始位移在裂縫將開(kāi)始的位置。

   Kc=靜態(tài)荷載和平面壓力下臨界張拉因數(shù)。

E=彈性系數(shù)

=張力的平均強(qiáng)度和材料的屈服強(qiáng)度。

m=強(qiáng)制性因數(shù)；在平面壓力和平面拉力下分別是1.2和1.6。

（Barson和Rolfe 1987）

裂縫能和臨界張拉因數(shù)Kc有關(guān)，通過(guò)下式：

             

            

其中Gc=臨界張拉應(yīng)力能的釋放率，將（18）式代入（17）式中得：

            

            

盡管形狀、尺寸和混凝土類(lèi)似，其裂縫的形態(tài)也相似。例如石頭和陶瓷所產(chǎn)生的裂縫范圍與鋼筋和其它的金屬不相同。式（16）和（19）證明了金屬和混凝土的非彈性形態(tài)下的相互作用。臨界裂縫寬度和裂縫能與張拉強(qiáng)度之間是線(xiàn)性相關(guān)的，這些都是材料的性能。

 

結(jié)論：

裂縫能和混凝土的張拉強(qiáng)度與最終的裂縫寬度是線(xiàn)性相關(guān)的。這種關(guān)系是用獨(dú)立的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述曲線(xiàn)的變化，混凝土和金屬的裂縫形態(tài)也已經(jīng)做出了比較，一種良好的關(guān)系也已經(jīng)建立在這兩種物質(zhì)的非彈性形態(tài)中。臨界裂縫寬度與材料的屬性也是線(xiàn)性相關(guān)的。

鋼筋混凝土板和組合連續(xù)梁的荷載-變形曲線(xiàn)已經(jīng)準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)出來(lái)了。在彈性和裂縫出現(xiàn)后的范圍內(nèi)通過(guò)分析合并的裂縫-能量模型。裂縫-能量方法是混凝土結(jié)構(gòu)分析中有非常重要的意義。在混凝土的裂縫中張力的減小比拉力的減小要更大。

 

 

 

 

 

 

 

圖9 組合梁的荷載-變形曲線(xiàn)

 

梁的變形    

梁的變形

 圖10  裂縫能在荷載-變形反應(yīng)中的影響曲線(xiàn)

圖11.標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度100mm的混凝土和鋼筋典型張拉力-變形曲線(xiàn)（Hillerborg 1984）